Sistemas de equações algébricas lineares. Sistemas homogêneos de equações algébricas lineares

De volta à escola, cada um de nós estudou as equações e,com certeza, o sistema de equações. Mas muitas pessoas não sabem que existem várias maneiras de resolvê-las. Hoje vamos discutir em detalhes todos os métodos para resolver um sistema de equações algébricas lineares que consistem em mais de duas igualdades.

História

Até à data, sabe-se que a arteresolver equações e seus sistemas originaram-se na antiga Babilônia e no Egito. No entanto, a igualdade em sua forma usual para nós apareceu após o aparecimento do sinal de igualdade "=", que foi introduzido em 1556 pelo matemático inglês Record. Por sinal, esse sinal foi escolhido por um motivo: significa dois segmentos paralelos iguais. Na verdade, o melhor exemplo de igualdade não pode ser imaginado.

O fundador da moderna alfabéticaA notação de incógnitas e os sinais de graus é o matemático francês François Viet. No entanto, suas designações foram significativamente diferentes de hoje. Por exemplo, o quadrado de um número desconhecido foi denotado pela letra Q ("Quadratus" latino), e o cubo pela letra C (Latin "cubus"). Essas designações agora parecem desconfortáveis, mas então era a maneira mais compreensível de escrever sistemas de equações algébricas lineares.

No entanto, a desvantagem dos métodos de solução entãoera que os matemáticos consideravam apenas raízes positivas. Talvez isso seja devido ao fato de que os valores negativos não tinham aplicação prática. De qualquer forma, os matemáticos italianos Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano e Rafael Bombelli no século 16 foram os primeiros a considerar as raízes negativas. Uma forma moderna, o método principal para a resolução de equações quadráticas (via discriminante) foi criado apenas no século 17 graças às obras de Descartes e Newton.

Em meados do século XVIII, o matemático suíço GabrielKramer encontrou uma nova maneira de facilitar a resolução de sistemas de equações lineares. Este método foi subsequentemente nomeado após ele e até hoje estamos a usá-lo. Mas vamos falar sobre o método de Cramer um pouco mais tarde, mas por enquanto, vamos discutir equações lineares e métodos para resolvê-los separadamente do sistema.

Equações lineares

As equações lineares são as equações mais simples com uma variável (s). Eles são classificados como algébricos. As equações lineares são escritas na forma geral da seguinte forma: a₁* x₁+ a_{2 *}x₂+ ... a_n* x_n= b. A representação deles nesta forma é necessária para a compilação de sistemas e matrizes adicionais.

Sistemas de equações algébricas lineares

A definição deste termo é: Este é um conjunto de equações que têm quantidades comuns desconhecidas e uma solução comum. Em regra, na escola, tudo foi resolvido por sistemas com duas ou mesmo três equações. Mas há sistemas com quatro ou mais componentes. Vejamos o primeiro, como escrevê-los para que, no futuro, fosse conveniente resolver. Primeiro, os sistemas de equações algébricas lineares ficarão melhores se todas as variáveis ​​forem escritas como x com o índice correspondente: 1,2,3 e assim por diante. Em segundo lugar, é necessário trazer todas as equações para a forma canônica: uma₁* x₁+ a_{2 *}x₂+ ... a_n* x_n= b.

Após todas essas ações, podemos começar a dizer como encontrar uma solução para sistemas de equações lineares. Muito por isso precisamos de matrizes.

Matrizes

Uma matriz é uma tabela que consiste de strings ecolunas, e em sua interseção são seus elementos. Isso pode ser valores ou variáveis ​​específicas. Na maioria das vezes, para denotar os elementos, eles são colocados abaixo dos índices (por exemplo, um₁₁ ou um₂₃). O primeiro índice é o número da linha e o segundo é a coluna. Sobre matrizes, bem como sobre qualquer outro elemento matemático, é possível executar várias operações. Assim, você pode:

1) Subtrair e adicionar as mesmas tabelas de tamanho.

2) Multiplique a matriz por um número ou vetor.

3) Transposição: converta as linhas da matriz em colunas e as colunas - em linhas.

4) Multiplique as matrizes se o número de linhas de uma delas for igual ao número de colunas do outro.

Vamos discutir todas essas técnicas com mais detalhes, já que elasserá útil para nós no futuro. Subtração e adição de matrizes é muito simples. Uma vez que tomamos matrices do mesmo tamanho, cada elemento de uma tabela se correlaciona com cada elemento do outro. Assim, adicionamos (subtraímos) esses dois elementos (é importante que eles estejam nos mesmos lugares em suas matrizes). Ao multiplicar uma matriz por um número ou vetor, basta multiplicar cada elemento da matriz por esse número (ou vetor). A transposição é um processo muito interessante. É muito interessante às vezes vê-lo na vida real, por exemplo, ao mudar a orientação de um tablet ou telefone. Os ícones na área de trabalho são uma matriz e, quando a posição muda, ela é transposta e se torna mais larga, mas diminui de altura.

Vamos analisar o processo de multiplicação de matrizes. Embora não seja útil, ainda será útil conhecê-lo. Multiplique duas matrizes apenas se o número de colunas de uma tabela for igual ao número de linhas da outra. Agora tomamos os elementos da linha de uma matriz e os elementos da coluna correspondente da outra. Nós os multiplicamos um pelo outro e depois os adicionamos (isto é, por exemplo, o produto dos elementos₁₁ e um₁₂ em b₁₂ e b₂₂ será: um₁₁* b₁₂ + a₁₂* b₂₂). Assim, obtemos um elemento da tabela e é preenchido da mesma maneira.

Agora podemos começar a considerar como o sistema de equações lineares é resolvido.

O Método de Gauss

Este tópico começa a ocorrer na escola. Conhecemos bem o conceito de "um sistema de duas equações lineares" e podemos resolvê-las. Mas e se o número de equações for superior a dois? O método de Gauss nos ajudará nisso.

Claro, é conveniente usar esse método se formos uma matriz do sistema. Mas você não pode transformá-lo e resolvê-lo em sua forma pura.

Então, como esse sistema pode ser resolvido por um sistema linearEquações gaussianas? Por sinal, embora esse método tenha o nome dele, mas foi descoberto nos tempos antigos. Gauss sugere o seguinte: realizar operações com equações, para eventualmente levar todo o agregado a uma forma gradual. Ou seja, é necessário que de cima para baixo (se adequadamente arranjado) da primeira equação ao último, diminuirão por um desconhecido. Em outras palavras, precisamos fazê-lo de modo a obter, digamos, três equações: nas primeiras três incógnitas, no segundo, o segundo, no terceiro. Então, a partir da última equação, encontramos o primeiro desconhecido, substitui seu valor na segunda ou primeira equação e, em seguida, encontra as duas variáveis ​​restantes.

Método de Cramer

Para dominar esse método, é vitalPossuir as habilidades de adição, subtração de matrizes, e também é necessário encontrar determinantes. Portanto, se você o faz mal ou não sabe como, você terá que aprender e praticar.

Qual é a essência deste método e como fazê-lo de modo queO sistema de equações lineares de Cramer foi obtido? É muito simples. Devemos construir uma matriz de coeficientes numéricos (quase sempre) de um sistema de equações algebraicas lineares. Para fazer isso, basta pegar os números na frente das incógnitas e colocá-los na tabela na ordem em que eles estão escritos no sistema. Se houver um sinal "-" na frente do número, então escreva um coeficiente negativo. Assim, compilamos a primeira matriz dos coeficientes para as incógnitas, não incluindo os números após os sinais iguais (é natural que a equação seja reduzida à forma canônica, quando o lado direito contém apenas o número e à esquerda todas as incógnitas com coeficientes). Então precisamos criar várias matrizes mais, uma para cada variável. Para fazer isso, substitua cada coluna na primeira matriz com a coluna do número da coluna após o sinal de igual. Assim, obtemos várias matrizes e depois encontramos seus determinantes.

Depois de encontrarmos os determinantes, o caso parapequeno. Temos uma matriz inicial, e existem várias matrizes derivadas que correspondem a diferentes variáveis. Para obter as soluções do sistema, dividimos o determinante da tabela obtida no determinante da tabela inicial. O número resultante é o valor de uma das variáveis. Da mesma forma, encontramos todas as incógnitas.

Outros métodos

Existem vários outros métodos parapara obter uma solução de sistemas de equações lineares. Por exemplo, o chamado método Gauss-Jordan, que é usado para encontrar soluções para um sistema de equações quadráticas, também está relacionado ao uso de matrizes. Existe também o método Jacobi para resolver um sistema de equações algébricas lineares. É o mais adaptável para um computador e é usado em tecnologia de computador.

Casos complexos

A complexidade geralmente surge se o número de equaçõesMenos do que o número de variáveis. Então, podemos dizer que o sistema é incompatível (isto é, não tem raízes) ou o número de suas soluções tende ao infinito. Se tivermos o segundo caso, devemos anotar a solução geral do sistema de equações lineares. Conterá pelo menos uma variável.

Conclusão

Então chegamos ao fim. Vamos resumir: analisamos o que são um sistema e matriz e aprendemos a encontrar uma solução geral de um sistema de equações lineares. Além disso, consideramos outras opções. Eles descobriram como o sistema de equações lineares é resolvido: o método de Gauss e o método de Cramer. Falamos sobre casos complicados e outras formas de encontrar soluções.

Na verdade, esse tópico é muito mais extenso e, se você quiser entendê-lo melhor, recomendamos a leitura de literatura mais especializada.